Matematyka 3 - Algebra stosowana

103000 - Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych

MAT3

1

Celem przedmiotu jest zdobycie przez studentów wiedzy o podstawowych strukturach algebraicznych, takich jak grupy, pierścienie, ciała i przestrzenie liniowe, oraz poznanie pewnych zastosowań tych struktur w geometrii, fizyce, informatyce, kodowaniu informacji czy kryptografii.

Celem przedmiotu jest zdobycie przez studentów wiedzy o podstawowych strukturach algebraicznych, takich jak grupy, pierścienie, ciała i przestrzenie liniowe, oraz poznanie pewnych zastosowań tych struktur w geometrii, fizyce, informatyce, kodowaniu informacji czy kryptografii.

Założeniem prowadzenia przedmiotu jest ukierunkowanie na kształcenie z wykorzystaniem wielu form i metod. Wykład będzie miał charakter informacyjny z elementami wykładu problemowego. Wprowadzane pojęcia będą obrazowane licznymi przykładami. Ćwiczenia oraz samodzielna praca studentów będą istotnym uzupełnieniem wykładu. Podczas tych zajęć wykorzystywany będzie system zeszyt.online, pakiety matematyczne SAGE i Wolfram Mathematica oraz dostępne prezentacje multimedialne. W ramach zajęć projektowych studenci, w 4-osobowych grupach, będą opracowywali zagadnienia nawiązujące, ilustrujące bądź rozszerzające wybrane tematy wprowadzone na wykładach i ćwiczeniach, ze szczególnym uwzględnieniem zastosowań w teorii kodów korekcyjnych i kryptografii. Ponadto przygotują materiały z tego zakresu dla studentów z pozostałych grup projektowych.

Treść wykładu

1. Grupy (2 godz.)
   Grupy przekształceń, grupy permutacji, grupa alternująca. Grupy Z_n i kongruencje. Grupy abelowe, grupy cykliczne. Podgrupy, dzielniki normalne, twierdzenie Lagrange'a. Iloczyny proste grup.
2. Pierścienie (1 godz.)
   Pierścienie, pierścień liczb całkowitych, pierścienie wielomianów. Zasadnicze Twierdzenie Algebry. Pierścienie ilorazowe, produkty pierścieni.
3. Ciała skończone (2 godz.)
   Ciała, rozszerzenia ciał, konstrukcja ciał skończonych. Wielomiany minimalne, pierwiastki z jedności w ciałach skończonych.
4. Przestrzenie wektorowe (2 godz.)
   Przestrzenie rzeczywiste, przestrzenie zespolone, przestrzenie wielomianów, przestrzenie macierzy. Liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej. Twierdzenie o wymiarze przestrzeni liniowej.
5. Przekształcenia liniowe (1 godz.)
   Macierze przekształceń liniowych. Jądro i obraz przekształcenia liniowego.
6. Postać kanoniczna macierzy (3 godz.)
   Wartości własne i wektory własne macierzy, wielomin charakterystyczny; twierdzenie Cayley-Hamilton; diagonalizacja macierzy, postać kanoniczna Jordan, potęgowanie macierzy.
7. Formy dwuliniowe hermitowskie (1 godz.)
   Twierdzenie Sylvestera i Jacobiego o bezwładności form hermitowskich.
8. Przestrzenie unitarne (2 godz.)
   Iloczyn skalarny, norma. Nierówności Bessela, Schwarza. Baza ortogonalna, baza ortonormalna.
9. Macierze i operatory hermitowskie (1 godz.)
   Twierdzenie spektralne dla operatorów hermitowskich.

Treść ćwiczeń

Ćwiczenia audytoryjne będą ilustracją problemów poruszanych na wykładach. Ponadto będą stanowiły uzupełnienie wykładów o następujące zagadnienia:

1. Chińskie twierdzenie o resztach. Równania liniowe w pierścieniu liczb całkowitych.
2. Macierze. Elementarne operacje na wierszach Metoda eliminacji Gaussa. Macierz odwrotna, macierze podobne.
3. Wyznacznik macierzy kwadratowej. Rozwinięcie Laplace'a. Wyznacznik Vandermonde'a, twierdzenie Cauchy'ego o mnożeniu wyznaczników, rząd macierzy.
4. Układy równań liniowych, wzory Cramera. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.
5. Ortogonalizacja Gram-Schmidta, rzut ortogonalny.
6. Diagramy automatów skończonych.
7. Algebry Boole'a.
8. Twierdzenie Picka.
9. Kod Huffmana - kompresja danych.

Zakres projektu

W ramach projektu zespoły 4-osobowe opracują prezentacje zastosowań praktycznych zagadnień omawianych na wykładach lub na ćwiczeniach. W zakres tematyki projektów będą wchodziły między innymi:

1. Grupy symetrii figur geometrycznych, symetrie wielościanów platońskich.
2. Zliczanie orbit. Lemat Cauchy’ego – Frobeniusa – Burnside’a.
3. Problem dzielenia sekretu. System kryptograficzny RSA.
4. Arytmetyka modularna.
5. Reszty kwadratowe i funkcja Legandre’a.
6. Kody korekcyjne.
7. Nierozwiązalność klasycznych konstrukcji geometrycznych.
8. Zastosowania wyznaczników.
9. Metoda najmniejszych kwadratów.
10. Zastosowania diagonalizacji i wektorów własnych.
11. Kwaterniony i oktonian.

Ponadto elementem projektu będzie przygotowanie materiałów z danego zakresu dla studentów z pozostałych grup projektowych.

Książki:

1. J-P. Aumasson, Nowoczesna kryptografia, PWN, Warszawa 2018.
2. C. Bagińskii, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, Warszawa 2002.
3. M. Curtis, Abstract linear algebra, Springer-Verlag, New York 1990.
4. W.J. Gilbert, W.K. Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami, WNT, Warszawa 2008.
5. N. Gubareni, Algebra współczesna i jej zastosowania, Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa 2018.
6. T. Hungerford, Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York 1974.
7. J. Klukowski, I. Nabiałek, Algebra dla studentów, WNT , Warszawa 1999.
8. A. Neugebauer, Algebra i teoria liczb, volumina.pl Daniel Krzanowski, Szczecin 2017.
9. A. Pilitowska, Algebraiczne aspekty teorii kodów, pre-skrypt Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 2008.
10. M. Zakrzewski, Markowe wykłady z matematyki – algebra z geometrią, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2015.

Inne:
• Pakiety matematyczne oraz prezentacje internetowe do realizacji zadań zarówno teoretycznych jak i praktycznych w ramach wykładów, ćwiczeń i zajęć projektowych.

Sprawdzanie założonych efektów kształcenia realizowane jest przez:

• ocenę wiedzy i umiejętności rozwiązywania zadań na ćwiczeniach – ocenę aktywności na zajęciach i 1 kolokwium;
• ocenę wiedzy i umiejętności związanych z realizacją zadań projektowych – ocena prezentacji i raportu z przeglądu literatury;
• ocenę wiedzy i umiejętności wykazanych na egzaminie pisemnym o charakterze problemowym oraz – w przypadkach wątpliwości co do oceny – na egzaminie ustnym.

112000 - Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych

112000 - Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych

112000 - Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych

112000 - Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych