Matematyka 4 - Stosowany rachunek prawdopodobieństwa

103000 - Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych

MAT4

1

Celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z podstawowymi zagadnieniami rachunku prawdopodobieństwa i z jego zastosowaniami. Zaprezentowanie elementarnych pojęć statystyki matematycznej. Wprowadzenie do teorii dyskretnych procesów stochastycznych i ich zastosowań. Zapoznanie studentów z podstawami komputerowych symulacji stochastycznych.

Celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z podstawowymi zagadnieniami rachunku prawdopodobieństwa i z jego zastosowaniami. Zaprezentowanie elementarnych pojęć statystyki matematycznej. Wprowadzenie do teorii dyskretnych procesów stochastycznych i ich zastosowań. Zapoznanie studentów z podstawami komputerowych symulacji stochastycznych.

Treść wykładu

1. Podstawy rachunku prawdopodobieństwa: model matematyczny doświadczenia losowego, aksjomatyka Kołmogorowa, dyskretna przestrzeń probabilistyczna.
2. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń: prawdopodobieństwo warunkowe, twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i wzór Bayesa, niezależność zdarzeń.
3. Zmienne losowe rzeczywiste i ich rozkłady: zmienne losowe i ich rozkłady, dystrybuanty i gęstości rozkładów prawdopodobieństwa, rozkłady dyskretne i ciągłe.
4. Parametry zmiennych losowych: wartość oczekiwana, wariancja, kowariancja, współczynnik korelacji, nierówność Schwarza.
5. Wielowymiarowe wektory losowe i ich rozkłady: rozkłady łączne i brzegowe, macierz kowariancji, wielowymiarowy rozkład gaussowski, niezależność zmiennych losowych.
6. Funkcje tworzące i funkcje tworzące momenty: funkcje tworzące, funkcje tworzące momenty, rozkłady sum niezależnych zmiennych losowych.
7. Twierdzenia graniczne: prawa wielkich liczb, Centralne Twierdzenie Graniczne dla niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach.
8. Elementy dyskretnych procesów stochastycznych: łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym, twierdzenia ergodyczne dla skończonych łańcuchów Markowa, proces Poissona.
9. Elementy statystyki matematycznej: estymacja punktowa i przedziałowa, testowanie hipotez.
10. Elementy zastosowań metod probabilistycznych i statystycznych w analizie dużych danych i uczeniu maszynowym.

Treść ćwiczeń

Podczas ćwiczeń audytoryjnych omawiane będą kolejno zadania i problemy związane z wymienionymi wyżej zagadnieniami. Ponadto zostaną omówione dodatkowe tematy:

1. Prawdopodobieństwo geometryczne.
2. Schemat Bernoulliego.
3. Procesy gałązkowe.
4. Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a.
5. Przykłady zastosowań twierdzeń granicznych rachunku prawdopodobieństwa.
6. Elementy teorii kolejek.

Zakres laboratorium

W ramach zajęć laboratoryjnych studenci będą mieli do wykonania zadania ściśle związane z bieżącą problematyką omawianą na wykładzie i ćwiczeniach, które będą wykonywać w środowisku R.

Zakres projektu

W ramach projektu zespoły 3- lub 4-osobowe będą miały do wykonania prezentację zagadnień wykraczających poza treści omawiane na wykładach, a także będących ich rozszerzeniem lub kontynuacją. W zakres tematyki projektów będą wchodziły między innymi:

1. Generatory liczb losowych.
2. Testy losowości (NIST, diehard).
3. Probabilistyczna analiza algorytmów – czas działania algorytmu, pesymistyczna i średnia złożoność czasowa.
4. Probabilistyczna analiza haszowania.
5. Regresja liniowa.
6. Markov Chain Monte Carlo (MCMC).

Ponadto elementem projektu będzie przygotowanie materiałów z danego zakresu dla studentów z pozostałych grup projektowych.

Książki:

1. Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel, "Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego"; 2007, Wydawnictwo Script.
2. Rick Durrett, "Essentials of Stochastic Processes"; 2016; Springer.
3. Wojciech Niemiro, "Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna"; 1999; Szkoła Nauk Ścisłych.
4. David Forsyth, "Probability and Statistics for Computer Science"; 2018; Springer.
5. Robert P. Dobrow, "Introduction to Stochastic Processes with R"; 2016; Wiley.

Oprogramowanie:

1. Środowisko R (oprogramowanie open source).
2. Inne oprogramowanie open source i komercyjne do realizacji zadań praktycznych i projektowych.

Sprawdzanie założonych efektów kształcenia realizowane jest przez:

• ocenę wiedzy i umiejętności związanych z realizacją zadań laboratoryjnych – ocenę poprawności realizowanych zadań,
• ocenę wiedzy i umiejętności związanych z realizacją zadań projektowych – ocenę prezentacji i przygotowanych materiałów,
• ocenę wiedzy i umiejętności związanych z rozwiązywaniem problemów podczas ćwiczeń audytoryjnych – ocenę poprawności rozwiązań,
• ocenę wiedzy i umiejętności wykazanych na kolokwium pisemnym,
• ocenę wiedzy i umiejętności wykazanych na egzaminie pisemnym oraz – w przypadkach wątpliwości co do oceny – na egzaminie ustnym.

112000 - Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych

112000 - Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych

112000 - Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych

112000 - Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych