Algebra liniowa

103000 - Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych
114000 - Wydział Mechatroniki

ALL

1

Celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z podstawami algebry liczb zespolonych oraz algebry liniowej w stopniu wystarczającym do rozwiązywania prostych równań i układów równań zarówno w zakresie liczb rzeczywistych, jak i zespolonych, oraz przedstawienie ogólnego pojęcia liniowości i jego wykorzystanie do badania własności takich liniowych obiektów, jak przestrzenie i ich przekształcenia.

Treść wykładu

• Liczby zespolone - definicja i podstawowe działania arytmetyczne. Postać algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych. Wzory de Moivre'a i Eulera.
• Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych.
• Własności wielomianów o współczynnikach zespolonych. Pierwiatki wielomianów.
• Zasadnicze twierdzenie algebry w wersji zespolonej i rzeczywistej.
• Funkcje wymierne. Pojęcie rzeczywistego i zespolonego ułamka prostego. Rozkład funkcji wymiernej na rzeczywiste i zespolone ułamki proste.
• Układy równań liniowych i ich rozwiązywanie: metoda eliminacji Gaussa.
• Macierzowa postać układu równań liniowych. Pojęcie macierzy i operacji elementarnych na macierzach. Własności dodawania i mnożenia macierzy.
• Pojęcie macierzy jednostkowej i macierzy odwrotnej. Metody obliczania macierzy odwrotnej i jej zastosowania.
• Określenie i podstawowe własności wyznacznika. Rozwinięcie Laplace'a. Wzory Cramera.
• Przestrzeń liniowa, jej baza i wymiar. Przekształcenia liniowe i ich macierze. Jądro i obraz przekształcenia liniowego.
• Pojęcie rzędu przekształcenia liniowego i jej macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
• Przekształcenia i macierze podobne, wartości i wektory własne przekształceń liniowych i macierzy. Diagonalizacja macierzy.

Zakres ćwiczeń

Podczas ćwiczeń audytoryjnych omawiane będą kolejno zadania i problemy związane ze wszystkimi wymieniowymi zagadnieniami. Ponadto użyty będzie system MATLAB, który pozwoli na zaprezentowanie studentom obliczeń na danych znacznych rozmiarów, co pozwoli nawiązać do takich zagadnień jak dobre i złe uwarunkowanie macierzy i układów równań, oraz przedstawienie macierzy w różnego rodzaju postaciach iloczynowych.

1. J. Klukowski, I. Nabiałek, "Algebra dla studentów", WNT, Warszawa 2015.
2. I. Nabiałek, "Zadania z algebry liniowej", WNT, Warszawa 2016.
3. pakiet MATLAB (www.mathworks.com, licencja TAH)