Politechnika Warszawska - Centralny System Uwierzytelniania
Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza matematyczna 2

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1120-IN000-ISP-0121 Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna 2
Jednostka: Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych
Grupy: Informatyka, I st. - przedmioty obowiązkowe, sem. 2
Inżynieria i analiza danych, I st. - przedmioty obowiązkowe, sem. 2
Punkty ECTS i inne: 6.00
Język prowadzenia: polski
Skrócony opis:

Celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z własnościami przekształceń ciągłych przestrzeni metrycznych i unormowanych, badaniem zbieżności szeregów liczbowych i funkcyjnych, obliczaniem granic i pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych, badaniem ich ekstremów oraz liczeniem całek wielokrotnych Riemanna.

Po ukończeniu kursu studenci powinni znać własności: normy, metryki i odwzorowań zwężających w przestrzeniach metrycznych zupełnych. Powinni mieć podstawową wiedzę z zakresu szeregów potęgowych i trygonometrycznych Fouriera, rachunku różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych oraz posiadać umiejętność :

- badania zbieżności szeregów liczbowych i funkcyjnych

- liczenia granic i pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych

- badania ekstremów funkcji wielu zmiennych

- liczenia całek wielokrotnych Riemanna.

Pełny opis:

Suma całkowa, definicja całki Riemanna. Górna i dolna całka Darboux. Twierdzenia o funkcjach całkowalnych w sensie Riemanna. Własności całki Riemanna. Interpretacja geometryczna całki Riemanna. Definicja całki oznaczonej i jej własności. Twierdzenie główne rachunku całkowego. Wzór Newtona-Leibniza. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. Twierdzenie o całkowaniu przez części. Twierdzenie o wartości średnie rachunku całkowego. Wzory rekurencyjne dla pewnych całek oznaczonych. Definicja całki niewłaściwej I rodzaju, wartość główna całki. Definicja całki niewłaściwej II rodzaju. Obliczanie pól obszarów normalnych. Obliczanie długości łuku prostowalnego. Obliczanie pól i objętości brył obrotowych.

Definicja szeregu liczbowego, jego sumy częściowej i sumy szeregu. Szereg Dirichleta i szereg geometryczny. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Kryterium porównawcze zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych. Szeregi o wyrazach dowolnych, zbieżność bezwzględna. Kryterium Cauchy’ego i kryterium D’Alamberta zbieżności szeregu. Szeregi naprzemienne, kryterium Leibniza, zbieżność warunkowa. Zamiana kolejności sumowania w szeregach. Twierdzenie Riemanna.

Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu funkcyjnego. Własności ciągów jednostajnie zbieżnych. Szereg funkcyjny punktowo i jednostajnie zbieżny. Kryterium Weierstrassa. Całkowanie i różniczkowanie szeregu funkcyjnego wyraz po wyrazie. Twierdzenie Abela. Promień zbieżności szeregu potęgowego, twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda. Całkowanie i różniczkowanie szeregu funkcyjnego wyraz po wyrazie. Szereg Taylora i Maclaurina. Rozwijanie funkcji w szereg Taylora. Rozwinięcie funkcji ekspotencjalnej, sinus i cosinus w szereg Maclaurina. Wzory Eulera. Szereg trygonometryczny Fouriera. Warunki Dirichleta. Twierdzenie Dirichleta. Rozwijanie funkcji w szereg sinusów i cosinusów.

Definicja metryki. Przykłady różnych metryk. Definicje kuli, sfery, odległość punktu od zbioru. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych. Zupełność.

Definicja normy i jej własności. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Metoda kolejnych przybliżeń.Granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych. Funkcja różniczkowalna, pochodna kierunkowa, pochodne cząstkowe, gradient funkcji. Zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych. Pochodne i różniczki wyższych rzędów. Twierdzenie Schwarza. Różniczkowanie funkcji złożonej jednej i wielu zmiennych. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych. Warunek konieczny istnienia ekstremum. Warunki wystarczające do istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych. Wartości największe i najmniejsze funkcji wielu zmiennych. Określenie funkcji uwikłanej wielu zmiennych. Twierdzenie o istnieniu funkcji uwikłanej. Twierdzenie o pochodnej funkcji uwikłanej. Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji uwikłanej jednej zmiennej.

Funkcja wektorowa jednej zmiennej, ciągłość i różniczkowalność. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji wektorowej. Funkcja wektorowa wielu zmiennych, ciągłość i różniczkowalność. Wykresy funkcji wektorowych – opis powierzchni. Macierz Jakobiego. Jakobian przekształcenia. Współrzędne biegunowe, walcowe i sferyczne. Płat regularny i płaszczyzna styczna do płata zadanego w postaci jawnej i parametrycznej. Definicja i własności operatorów różniczkowych gradientu, diwergencji i rotacji.

Miara Jordana w Rn. Definicja i własności całki Riemanna. Obszary normalne. Całki iterowane. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. Całki podwójne i potrójne. Interpretacja geometryczna całki podwójnej i potrójnej.

Literatura:

1. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, wyd. XVII, PWN, Warszawa, 2012.

2. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa, 1978.

Metody i kryteria oceniania:

1) Ćwiczenia

Punkty za ćwiczenia uzyskuje się na podstawie wyników kolokwiów przeprowadzanych w czasie semestru oraz na podstawie aktywności na zajęciach. W semestrze odbywają się trzy kolokwia punktowane w skali od 0 do 17 punktów każde. Za aktywność na ćwiczeniach można uzyskać od 0 do 9 punktów. Łącznie za ćwiczenia można uzyskać od 0 do 60 punktów. Semestr kończy się egzaminem.

2) Egzamin

Do egzaminu może przystąpić każdy student, który uczęszczał na ćwiczenia. Egzamin punktowany jest w skali od 0 do 60 punktów i składa się z dwóch części: części zadaniowej i teoretycznej; za każdą z tych części można otrzymać maksymalnie 30 punktów. Egzamin uznaje się za zdany, jeśli spełnione są jednocześnie dwa warunki:

(i) ilość punktów za część teoretyczną jest większa lub równa 15,

(ii) suma punktów z ćwiczeń, części zadaniowej i części teoretycznej egza-minu jest większa lub równa 61.

3) Ocena z przedmiotu

Ocenę końcową z przedmiotu wystawia się na podstawie sumy punktów z ćwiczeń, części zadaniowj i części teoretycznej egzaminu według poniższych zasad:

a) 3.0 jeżeli student uzyskał od 61 do 70 pkt.

b) 3.5 jeżeli student uzyskał od 71 do 80 pkt.

c) 4.0 jeżeli student uzyskał od 81 do 90 pkt.

d) 4.5 jeżeli student uzyskał od 91 do 104 pkt.

e) 5.0 jeżeli student uzyskał powyżej 104 pkt.

4) Zwolnienie z części zadaniowej egzaminu

Osoby, które uzyskały z ćwiczeń 45 punktów lub więcej są zwolnione z części zadaniowej egzaminu. W tej sytuacji ocena za część zadaniową jest równa połowie punktów z ćwiczeń. Osoby zwolnione mogą również przystąpić do części zadaniowej egzaminu; wówczas liczy się tylko lepszy wynik.

5) Poprawianie wyników z ćwiczeń w trakcie sesji

Osoby, które w trakcie semestru uzyskają za ćwiczenia mniej niż 30 punktów, ale za część zadaniową egzaminu zdobędą co najmniej 20 punktów, będą miały na kolejnym terminie egzaminu ilość punktów za ćwiczenia równą 30 (nie dotyczy osób, które mimo niskiej liczby punktów za ćwiczenia zdadzą egzamin).

6) Zasady przeprowadzania sprawdzianów i udostępnianie wyników

Podczas kolokwiów i egzaminów zabronione jest korzystanie z jakichkolwiek materiałów pomocniczych, w tym notatek, książek i  materiałów w wersji elektronicznej. Wyniki kolokwiów i egzaminów będą udostępniane niezwłocznie w systemie USOS.

7) Uwaga

W przypadku konieczności przeprowadzenia zdalnego kolokwium lub egzaminu dopuszczalne jest przeprowadzenie części lub całego sprawdzianu w formie ustnej.

Zajęcia w cyklu "rok akademicki 2020/2021 - sem. letni" (w trakcie)

Okres: 2021-02-20 - 2021-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Anna Dembińska, Bogusława Karpińska
Prowadzący grup: Katarzyna Danielak, Anna Dembińska, Piotr Gałązka, Bogusława Karpińska, Michał Zwierzyński
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "rok akademicki 2019/2020 - sem. letni" (zakończony)

Okres: 2020-02-22 - 2020-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Anna Dembińska, Bogusława Karpińska
Prowadzący grup: Katarzyna Danielak, Anna Dembińska, Piotr Gałązka, Michał Zwierzyński
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "rok akademicki 2018/2019 - sem. letni" (zakończony)

Okres: 2019-02-18 - 2019-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Anna Dembińska, Bogusława Karpińska
Prowadzący grup: Katarzyna Danielak, Anna Dembińska, Piotr Gałązka, Bogusława Karpińska, Michał Zwierzyński
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Ćwiczenia - Zaliczenie
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "rok akademicki 2017/2018 - sem. letni" (zakończony)

Okres: 2018-02-19 - 2018-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Anna Dembińska, Bogusława Karpińska
Prowadzący grup: Katarzyna Danielak, Anna Dembińska, Piotr Gałązka, Bogusława Karpińska
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Ocena łączna
Ćwiczenia - Zaliczenie
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "rok akademicki 2016/2017 - sem. letni" (zakończony)

Okres: 2017-02-20 - 2017-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Anna Dembińska, Bogusława Karpińska
Prowadzący grup: Anna Dembińska, Piotr Gałązka, Bogusława Karpińska
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "rok akademicki 2015/2016 - sem. letni" (zakończony)

Okres: 2016-02-23 - 2016-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Anna Dembińska, Bogusława Karpińska
Prowadzący grup: Anna Dembińska, Piotr Gałązka, Bogusława Karpińska
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "rok akademicki 2014/2015 - sem. letni" (zakończony)

Okres: 2015-02-23 - 2015-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Anna Dembińska, Bogusława Karpińska
Prowadzący grup: Anna Dembińska, Piotr Gałązka, Bogusława Karpińska
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "rok akademicki 2013/2014 - sem. letni" (zakończony)

Okres: 2014-02-24 - 2014-09-28
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Anna Dembińska
Prowadzący grup: Anna Dembińska, Piotr Gałązka, Bogusława Karpińska, Marcin Rdzanowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "rok akademicki 2012/2013 - sem. letni" (zakończony)

Okres: 2013-02-20 - 2013-09-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Wykład, 45 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Konstanty Junosza-Szaniawski, Bogusława Karpińska
Prowadzący grup: Anna Dembińska, Piotr Gałązka, Bogusława Karpińska
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Politechnika Warszawska.