Analiza i równania różniczkowe 1

Głównym celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z podstawami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej i wielu zmiennych rzeczywistych oraz z teorią szeregów liczbowych. Wprowadzone pojęcia i metody są wykorzystywane do badania bardziej złożonych zagadnień, w tym np. do badania funkcji, rachunków przybliżonych, zastosowań geometrycznych, fizycznych i technicznych oraz do tworzenia modeli matematycznych. Na zajęciach wykładowych część teoretyczna poparta będzie przykładami związanymi z rzeczywistymi sytuacjami, w których realizują się omawiane zagadnienia.

Treść ćwiczeń

1. Ciągi liczbowe i funkcje (6 godz.)
   Ciągi liczbowe: zbieżność, podstawowe własności i twierdzenia, ciągi zadane rekurencyjnie. Własności funkcji: monotoniczność, różnowartościowość, parzystość. Funkcje logarytmiczne, hiperboliczne, cyklometryczne. Granica funkcji w punkcie, ciągłość funkcji, tw. Weierstrassa, tw. Darboux.
2. Szeregi liczbowe (3 godz.)
   Zbieżność bezwzględna i warunkowa, kryteria zbieżności.
3. Pochodna funkcji (6 godz.)
   Pochodna funkcji, interpretacja geometryczna, podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego, monotoniczność, pochodne wyższych rzędów. Ekstrema funkcji, punkty przegięcia, asymptoty, badanie funkcji, tw. Rolle’a, Lagrange’a, reguła de l’Hospitala, wzór Taylora, Maclaurina.
4. Całka nieoznaczona (3 godz.)
   Całka nieoznaczona, podstawowe wzory, całkowanie przez części, całkowanie przez podstawienie, całki funkcji wymiernych, standardowe podstawienia.
5. Całka oznaczona i niewłaściwa (3 godz.)
   Całka oznaczona w sensie Riemanna, interpretacja geometryczna, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną, zastosowania geometryczne całki oznaczonej, całki niewłaściwe I-go i II-go rodzaju.
6. Funkcje wielu zmiennych (9 godz.)
   Funkcje wielu zmiennych rzeczywistych: granica, ciągłość, pochodne cząstkowe, pochodna kierunkowa, gradient funkcji, pochodne funkcji złożonych, funkcje uwikłane, ekstrema funkcji wielu zmiennych, wartość największa i najmniejsza funkcji.

Treść ćwiczeń

Podczas ćwiczeń audytoryjnych omawiane będą kolejno zadania i problemy związane z wymienionymi wyżej zagadnieniami wraz z przykładami praktycznych zastosowań. Ponadto w ramach przygotowania do zajęć studenci będą wykonywać zadane prace przy użyciu systemu zeszyt.online. W trakcie semestru przeprowadzone zostaną dwa dwugodzinne kolokwia.

1. Wiadomości wstępne (1 godz.)
   Tw. o indukcji matematycznej, elementy kombinatoryki, przydatne nierówności.
2. Ciągi liczbowe (2 godz.)
   Granica ciągu, badanie istnienia granic z definicji oraz z wykorzystaniem twierdzeń teorii ciągów, ciągi zadane rekurencyjnie.
3. Szeregi liczbowe (2 godz.)
   Badanie zbieżności szeregów na podstawie kryteriów zbieżności, zbieżność bezwzględna i warunkowa.
4. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej (3 godz.)
   Granica funkcji w punkcie, badanie istnienia granic funkcji z definicji oraz z wykorzystaniem wyprowadzonych na wykładzie granic, ciągłość funkcji.
5. Pochodna funkcji (3 godz.)
   Definicja pochodnej funkcji w punkcie, podstawowe wzory, interpretacja geometryczna, styczna do krzywej, kąt między krzywymi, reguła. de l’Hospitala, wnioski z tw. Lagrange’a, pochodne wyższych rzędów.
6. Wzór Taylora, badanie funkcji (3 godz.)
   Wzór Taylora i Maclaurina, badanie funkcji, asymptoty, ekstrema funkcji, punkty przegięcia.
7. Całka nieoznaczona (3 godz.)
   Wzory podstawowe, całkowanie przez części i przez podstawienie, całkowanie funkcji wymiernych, standardowe podstawienia.
8. Całka oznaczona i niewłaściwa (3 godz.)
   Całka oznaczona w sensie Riemanna, podstawowe tw. rachunku całkowego, związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną, zastosowania geometryczne całki oznaczonej, całki niewłaściwe I-go i II-go rodzaju.
9. Funkcje wielu zmiennych (2 godz.)
   Granica funkcji wielu zmiennych rzeczywistych, ciągłość, pochodne cząstkowe.
10. Ekstrema funkcji wielu zmiennych (2 godz.)
    Ekstrema lokalne właściwe i niewłaściwe, wartość największa i najmniejsza funkcji, tw. Weierstrassa.
11. Funkcje wielu zmiennych c.d. (2 godz.)
    Pochodne funkcji złożonych, pochodna kierunkowa, gradient funkcji, funkcje uwikłane.