Matematyka 2 - Analiza

103000 - Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych

MAT2

1

Głównym celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z podstawami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej i wielu zmiennych rzeczywistych oraz funkcji zmiennej zespolonej, z teorią szeregów liczbowych i funkcyjnych rzeczywistych i zespolonych oraz przekształceń całkowych i równań różniczkowych zwyczajnych. Wprowadzone pojęcia i metody będą wykorzystywane do badania bardziej złożonych zagadnień, w tym np. do badania funkcji, rachunków przybliżonych, zastosowań geometrycznych, fizycznych i technicznych oraz do tworzenia modeli matematycznych.

Głównym celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z podstawami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej i wielu zmiennych rzeczywistych oraz funkcji zmiennej zespolonej, z teorią szeregów liczbowych i funkcyjnych rzeczywistych i zespolonych oraz przekształceń całkowych i równań różniczkowych zwyczajnych. Wprowadzone pojęcia i metody będą wykorzystywane do badania bardziej złożonych zagadnień, w tym np. do badania funkcji, rachunków przybliżonych, zastosowań geometrycznych, fizycznych i technicznych oraz do tworzenia modeli matematycznych.

Założeniem prowadzenia przedmiotu jest ukierunkowanie na kształcenie z wykorzystaniem różnorodnych metod. Zajęcia wykładowe będą prowadzone interdyscyplinarnie, część teoretyczna, prezentowana z wykorzystaniem programu Mathematica, będzie poparta przykładami związanymi z rzeczywistymi sytuacjami, w których realizują się omawiane zagadnienia. Ćwiczenia i zajęcia laboratoryjne będą oparte na wykonywaniu zadań ilustrujących zarówno zagadnienia wykładowe, jak i treści, które studenci będą musieli przygotować we własnym zakresie. Podczas tych zajęć wykorzystywany będzie program Mathematica, system zeszyt.online oraz portal Khan Academy. W ramach zajęć projektowych studenci, w mniejszych grupach, będą realizować prezentację zagadnień wykraczających poza treści omawiane na wykładach, będące ich rozszerzeniem lub kontynuacją. Ponadto przygotują materiały z tego zakresu dla studentów z pozostałych grup projektowych.

Treść wykładu

1. Ciągi liczbowe i funkcje (2 godz.)
   Ciągi liczbowe: granice, podstawowe własności i twierdzenia, ciągi określone rekurencyjnie. Podstawowe funkcje i ich własności. Granica funkcji w punkcie, podstawowe granice, ciągłość funkcji, punkty nieciągłości.
2. Rachunek różniczkowy (4 godz.)
   Pochodna funkcji, interpretacja geometryczna, podstawowe twierdzenia, reguła de l'Hospitala, pochodne wyższych rzędów. Ekstrema funkcji, wartość największa i najmniejsza funkcji, punkty przegięcia, asymptoty, badanie funkcji. Wzór Taylora, Maclaurina, rachunki przybliżone.
3. Całka nieoznaczona (2 godz.)
   Całka nieoznaczona, podstawowe wzory, całkowanie przez części. Całkowanie przez podstawienie, całki funkcji wymiernych, trygonometrycznych, standardowe podstawienia.
4. Całka oznaczona i niewłaściwa (2 godz.)
   Całka oznaczona w sensie Riemanna, interpretacja geometryczna, własności, podstawowe twierdzenia. Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną, zastosowania geometryczne całki oznaczonej. Całki niewłaściwe I-go i II-go rodzaju, wartości główne.
5. Szeregi liczbowe, potęgowe, Fouriera (2 godz.)
   Szeregi liczbowe. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Kryteria zbieżności. Szeregi potęgowe, promień zbieżności, szereg Taylora i Maclaurina. Szereg trygonometryczny Fouriera.
6. Przestrzeń wielowymiarowa (1 godz.)
   Przestrzenie liniowe, przestrzenie metryczne, przykłady. Przestrzenie Banacha i Hilberta, przykłady.
7. Funkcje wielu zmiennych rzeczywistych (3 godz.)
   Funkcje wielu zmiennych rzeczywistych: granica, ciągłość. Pochodne cząstkowe, kierunkowe, definicja i własności operatorów różniczkowych, dywergencji i rotacji. Pochodne funkcji złożonych, ekstrema funkcji wielu zmiennych. Wartość największa i najmniejsza funkcji. Gradient, różniczka funkcji.
8. Całki wielokrotne, krzywoliniowe (2 godz.)
   Całka podwójna, własności, podstawowe twierdzenia, całka potrójna. Całki krzywoliniowe, skierowana i nieskierowana, twierdzenie Greena, potencjał.
9. Całki powierzchniowe, analiza wektorowa (2 godz.)
   Całki powierzchniowe, niezorientowane i zorientowane, podstawowe twierdzenia. Strumień i dywergencja, twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego. Rotacja i cyrkulacja, twierdzenie Stokesa.
10. Funkcje zespolone (4 godz.)
    Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistości. Postać zespolona szeregu Fouriera. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej, szeregi potęgowe, pochodna i holomorficzność, funkcje harmoniczne. Całka funkcji zmiennej zespolonej, podstawowe twierdzenia. Szereg Taylora i Laurenta. Twierdzenia całkowe o residuach.
11. Równania różniczkowe zwyczajne (3 godz.)
    Podstawowe równania pierwszego rzędu. Liniowe równania różniczkowe pierwszego i wyższych rzędów o stałych współczynnikach. Rozwiązywanie równań różniczkowych metodami klasycznymi.
12. Przekształcenia całkowe (3 godz.)
    Przekształcenie Laplace’a, własności, odwrotne przekształcenie Laplace'a, splot, twierdzenie Borela. Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą operatorową. Wzór całkowity Fouriera, przekształcenie Fouriera, dyskretna i szybka transformata Fouriera.

Treść ćwiczeń

Podczas ćwiczeń audytoryjnych omawiane będą kolejno zadania i problemy związane z najważniejszymi zagadnieniami wymienionymi powyżej. W ramach uzupełnienia ćwiczeń proponowane będą materiały m.in. z portalu Khan Academy oraz zadawane będą prace w systemie zeszyt.online.

Zakres laboratorium
W ramach zajęć laboratoryjnych studenci będą mieli do rozwiązania zadania teoretyczne i praktyczne ściśle związane z bieżącą problematyką omawianą na wykładzie i ćwiczeniach, które będą musieli wykonać z wykorzystaniem programu Mathematica.

Zakres projektu

W ramach projektu 3-4-osobowe zespoły będą losowały zestawy zawierające zadania związane z problemami praktycznymi odpowiadającymi zagadnieniom omawianym na wykładach oraz zawierające zadania teoretyczne (dowody). Zadania praktyczne rozwiązywane będą w programie Mathematica, a ostateczna wersja projektu (po korektach) zostanie zaprezentowana na zajęciach; w prezentacji muszą brać udział wszyscy członkowie zespołu.

Materiały do zajęć - slajdy, zestawy zadań ćwiczeniowych, zestawy laboratoryjne i projektowe, opracowania, prezentacje internetowe.

Książki:

1. W. Żakowski, G. Decewicz, Matematyka cz. I, WNT, Warszawa 2017.
2. W. Żakowski, W. Kołodziej, Matematyka cz. II,WNT, Warszawa 2017.
3. W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka cz. IV, WNT, Warszawa 2012.
4. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN.
5. W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz. I B, Wydawnictwo Naukowe PWN.
6. E. Kącki, L. Siewierski, Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami, Wydawnictwo Wyższej Szkoły Informatyki w Łodzi.
7. P. Hartman, Ordinary Differential Equations, Birkhauser 1982.
8. R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN 2001.
9. D. Bachman, Advanced Calculus Demystified, McGraw Hill Professional, 2007.
10. C. Arangala, K. Yokley, Exploring Calculus, Routledge 2016.
11. M. Abell, J. Braselton, Differential Equations with Mathematica, Academic Press, 2016.

Oprogramowanie:

1. Wolfram Mathematica.
2. Inne oprogramowanie open source i komercyjne do realizacji zadań projektowych.

Inne:

1. Prezentacje internetowe do realizacji zadań teoretycznych i projektowych w ramach wykładów, ćwiczeń i zajęć projektowych.

Sprawdzanie założonych efektów kształcenia realizowane jest przez:

• ocenę wiedzy i umiejętności związanych z realizacją zadań laboratoryjnych – ocenę poprawności realizowanych zadań;
• ocenę wiedzy i umiejętności związanych z realizacją zadań projektowych – ocenę prezentacji i przygotowanych materiałów;
• ocenę wiedzy i umiejętności związanych z rozwiązywaniem problemów w systemie zeszyt.online – ocenę poprawności rozwiązań;
• ocenę wiedzy i umiejętności związanych z rozwiązywaniem problemów podczas ćwiczeń audytoryjnych – ocenę poprawności rozwiązań;
• ocenę wiedzy i umiejętności wykazanych na kolokwium pisemnym;
• ocenę wiedzy i umiejętności wykazanych na egzaminie pisemnym oraz – w przypadkach wątpliwości co do oceny – na egzaminie ustnym.

112000 - Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych

112000 - Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych

112000 - Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych

112000 - Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych

112000 - Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych