Algebra

103000 - Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych

ALGT

1

Głównym celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z podstawami algebry liczb zespolonych oraz działań na macierzach jako narzędzi przydatnych w pracy inżyniera. Przedstawione zostaną zagadnienia algebry liniowej w stopniu wystarczającym do rozwiązywania prostych równań i układów równań zarówno w zakresie liczb rzeczywistych, jak i zespolonych. Omówione będzie ogólne pojęcie liniowości i jego wykorzystanie do badania własności takich liniowych obiektów, jak przestrzenie i ich przekształcenia. Ponadto przedstawione będą podstawowe zagadnienia liniowej geometrii analitycznej w przestrzeni R3. Istotna uwaga będzie zwrócona na logiczną poprawność rozumowania oraz prawidłowe używanie podstawowych pojęć z zakresu teorii mnogości i ogólnych własności funkcji.

Głównym celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z podstawami algebry liczb zespolonych oraz działań na macierzach jako narzędzi przydatnych w pracy inżyniera. Przedstawione zostaną zagadnienia algebry liniowej w stopniu wystarczającym do rozwiązywania prostych równań i układów równań zarówno w zakresie liczb rzeczywistych, jak i zespolonych. Omówione będzie ogólne pojęcie liniowości i jego wykorzystanie do badania własności takich liniowych obiektów, jak przestrzenie i ich przekształcenia. Ponadto przedstawione będą podstawowe zagadnienia liniowej geometrii analitycznej w przestrzeni R3. Istotna uwaga będzie zwrócona na logiczną poprawność rozumowania oraz prawidłowe używanie podstawowych pojęć z zakresu teorii mnogości i ogólnych własności funkcji.

Treść wykładu

1. Liczby zespolone – definicja i podstawowe działania arytmetyczne. Postać algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych. Wzory de Moivre’a i Eulera. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych. (4 godz.)
2. Własności wielomianów o współczynnikach zespolonych. Zasadnicze twierdzenie algebry w wersji zespolonej i rzeczywistej. Funkcje wymierne. Pojęcie rzeczywistego i zespolonego ułamka prostego. Rozkład funkcji wymiernej na rzeczywiste i zespolone ułamki proste. (2 godz.)
3. Logika – rachunek zdań i kwantyfikatorów, podstawowe tautologie, reguły dowodzenia. (2 godz.)
4. Rachunek zbiorów – podstawowe operacje teoriomnogościowe i ich własności, iloczyn kartezjański, zbiór potęgowy, pojęcie rodziny zbiorów. Pojęcie relacji, podstawowe własności relacji binarnych. Funkcje jako relacje, pojęcie iniekcji, surjekcji oraz bijekcji, obrazy i przeciwobrazy zbiorów. (4 godz.)
5. Przestrzenie liniowe – definicja, pojęcie podprzestrzeni, układy wektorów, liniowa niezależność, baza i wymiar przestrzeni. (2 godz.)
6. Macierze i operacje elementarne na macierzach. Własności dodawania i mnożenia macierzy. Pojęcie macierzy jednostkowej i macierzy odwrotnej. Metody obliczania macierzy odwrotnej. Określenie i podstawowe własności wyznacznika. Rozwinięcie Laplace’a. Rząd macierzy. (4 godz.)
7. Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania. Wzory Cramera, metoda macierzowa, metoda eliminacji Gaussa. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. (2 godz.)
8. Geometria analityczna w przestrzeni R3 – rachunek wektorowy, reprezentacja prostej i płaszczyzny, odległość między płaszczyznami i prostymi. Ortogonalność wektorów, rzutu prostokątny wektora na podprzestrzeń. (4 godz.)
9. Przekształcenia liniowe i ich macierze. Jądro i obraz oraz rząd przekształcenia liniowego. Izomorfizm przestrzeni liniowych. (2 godz.)
10. Wartości i wektory własne macierzy. Diagonalizacja macierzy. Wartości i wektory własne przekształceń liniowych. (4 godz.)

Treść ćwiczeń

Podczas ćwiczeń audytoryjnych omawiane będą kolejno zadania i problemy związane z wszystkimi wymienionymi wyżej zagadnieniami.

1. Działania elementarne na liczbach zespolonych, postać kanoniczna, trygonometryczna i wykładnicza.
2. Potęgowanie i wyznaczanie pierwiastków dowolnego stopnia. Rozwiązywanie prostych równań w dziedzinie liczb zespolonych.
3. Znajdowanie pierwiastków wielomianów i rozkład funkcji wymiernych na sumę ułamków prostych (rzeczywistych oraz zespolonych).
4. Rachunek zdań i kwantyfikatorów – dowodzenie tautologii, badanie prawdziwości zdań złożonych oraz zdań z kwantyfikatorami.
5. Rachunek zbiorów – podstawowe operacje na zbiorach, iloczyn kartezjański, zbiór potęgowy, badanie własności relacji binarnych.
6. Funkcje – badanie ich własności, w tym różnowartościowości, wyznaczanie funkcji odwrotnej, obrazów i przeciwobrazów zbiorów.
7. Przestrzenie liniowe – badanie liniowej niezależności układów wektorów, opis podprzestrzeni oraz wyznaczanie jej wymiaru i bazy.
8. Macierze – elementarne działania, obliczanie wyznacznika i rzędu, wyznaczanie odwrotności macierzy.
9. Rozwiązywanie układów równań liniowych – wzory Cramera, metoda macierzowa, metoda eliminacji Gaussa, wykorzystanie twierdzenia Kroneckera-Capellego.
10. Geometria analityczna w przestrzeni R3 – reprezentacja prostej i płaszczyzny, obliczanie iloczynu skalarnego, wektorowego i mieszanego, odległości między płaszczyznami i prostymi. Badanie ortogonalności wektorów, wyznaczanie rzutu prostokątnego wektora na podprzestrzeń.
11. Przekształcenia liniowe – posługiwanie się macierzami przekształceń w zadanych bazach, wyznaczanie jądra i obrazu przekształcenia liniowego, znajdowanie reprezentacji macierzowej dla przekształceń geometrycznych płaszczyzny i przestrzeni R3.
12. Wyznaczanie wektorów i wartości własnych macierzy. Diagonalizacja macierzy.
13. Wyznaczanie wektorów i wartości własnych przekształceń liniowych, zapis macierzy przekształcenia liniowego w bazach składających się z wektorów własnych.

Zakres laboratorium

Przedstawiony będzie system MATLAB, jako obliczeniowe narzędzie wspomagające pracę inżyniera. Student pozna funkcje tego programu, które ułatwią rozwiązywanie problemów algebry liniowej: działania na macierzach, obliczanie wyznacznika i rzędu macierzy, rozwiązywanie układów równań liniowych, wyznaczanie wektorów i wartości własnych macierzy. System użyty będzie również do generowania i wykonywania obliczeń na danych znacznych rozmiarów.

1. J. Klukowski, I. Nabiałek, Algebra dla studentów, PWN, Warszawa 2016.
2. I. Nabiałek, Zadania z algebry liniowej, WNT, Warszawa 2006.
3. J. Kraszewski, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa 2017.
4. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1 i 2, Algebra i geometria analityczna, GiS, Wrocław 2016.
5. Pakiet MATLAB (www.mathworks.com, licencja TAH)

Ocena wystawiana jest na podstawie sumy punktów uzyskanych na ćwiczeniach, zajęciach laboratoryjnych i na egzaminie. Ćwiczenia z laboratoriami oceniane są w skali 0-50 punktów. W czasie semestru odbywają się 3 kolokwia, za które można uzyskać łącznie do 40 punktów.

Dwa kolokwia będą przeprowadzone na ćwiczeniach audytoryjnych, a jedno na laboratorium z możliwością wykorzystania pakietu MATLAB. Na kolokwiach studenci rozwiązują zadania podobne do przerabianych na ćwiczeniach i laboratorium.

Na ocenę z przedmiotu oprócz kolokwiów wpływ mają też punkty za aktywność. Za aktywność student może zdobyć łącznie 10 punktów na ćwiczeniach i na laboratorium.

Do egzaminu, ocenianego w skali 0-50 punktów, może przystąpić każdy niezależnie od liczby punktów za kolokwia i aktywność. Warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny jest zdobycie powyżej 25 punktów za egzamin oraz powyżej 50 punktów łącznie (kolokwia, aktywność, egzamin).

Ocena jest wyznaczana na podstawie uzyskanej sumy punktów i zwiększa się o pół stopnia co 10 punktów. Przykładowo ocena 3 przysługuje, gdy suma punktów będzie w przedziale wartości (50, 60), a ocena 5 w przypadku sumy z przedziału (90, 100).