Politechnika Warszawska - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Algebra

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 103A-TLxxx-ISP-ALGT Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Algebra
Jednostka: Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych
Grupy: ( Matematyka )-Telekomunikacja-inż.-EITI
( Przedmioty techniczne )---EITI
Punkty ECTS i inne: 6.00
Język prowadzenia: polski
Jednostka decyzyjna:

103000 - Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych

Kod wydziałowy:

ALGT

Numer wersji:

1

Skrócony opis:

Głównym celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z podstawami algebry liczb zespolonych oraz działań na macierzach jako narzędzi przydatnych w pracy inżyniera. Przedstawione zostaną zagadnienia algebry liniowej w stopniu wystarczającym do rozwiązywania prostych równań i układów równań zarówno w zakresie liczb rzeczywistych, jak i zespolonych. Omówione będzie ogólne pojęcie liniowości i jego wykorzystanie do badania własności takich liniowych obiektów, jak przestrzenie i ich przekształcenia. Ponadto przedstawione będą podstawowe zagadnienia liniowej geometrii analitycznej w przestrzeni R3. Istotna uwaga będzie zwrócona na logiczną poprawność rozumowania oraz prawidłowe używanie podstawowych pojęć z zakresu teorii mnogości i ogólnych własności funkcji.

Pełny opis:

Głównym celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z podstawami algebry liczb zespolonych oraz działań na macierzach jako narzędzi przydatnych w pracy inżyniera. Przedstawione zostaną zagadnienia algebry liniowej w stopniu wystarczającym do rozwiązywania prostych równań i układów równań zarówno w zakresie liczb rzeczywistych, jak i zespolonych. Omówione będzie ogólne pojęcie liniowości i jego wykorzystanie do badania własności takich liniowych obiektów, jak przestrzenie i ich przekształcenia. Ponadto przedstawione będą podstawowe zagadnienia liniowej geometrii analitycznej w przestrzeni R3. Istotna uwaga będzie zwrócona na logiczną poprawność rozumowania oraz prawidłowe używanie podstawowych pojęć z zakresu teorii mnogości i ogólnych własności funkcji.



Treść wykładu

  1. Liczby zespolone – definicja i podstawowe działania arytmetyczne. Postać algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych. Wzory de Moivre’a i Eulera. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych. (4 godz.)
  2. Własności wielomianów o współczynnikach zespolonych. Zasadnicze twierdzenie algebry w wersji zespolonej i rzeczywistej. Funkcje wymierne. Pojęcie rzeczywistego i zespolonego ułamka prostego. Rozkład funkcji wymiernej na rzeczywiste i zespolone ułamki proste. (2 godz.)
  3. Logika – rachunek zdań i kwantyfikatorów, podstawowe tautologie, reguły dowodzenia. (2 godz.)
  4. Rachunek zbiorów – podstawowe operacje teoriomnogościowe i ich własności, iloczyn kartezjański, zbiór potęgowy, pojęcie rodziny zbiorów. Pojęcie relacji, podstawowe własności relacji binarnych. Funkcje jako relacje, pojęcie iniekcji, surjekcji oraz bijekcji, obrazy i przeciwobrazy zbiorów. (4 godz.)
  5. Przestrzenie liniowe – definicja, pojęcie podprzestrzeni, układy wektorów, liniowa niezależność, baza i wymiar przestrzeni. (2 godz.)
  6. Macierze i operacje elementarne na macierzach. Własności dodawania i mnożenia macierzy. Pojęcie macierzy jednostkowej i macierzy odwrotnej. Metody obliczania macierzy odwrotnej. Określenie i podstawowe własności wyznacznika. Rozwinięcie Laplace’a. Rząd macierzy. (4 godz.)
  7. Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania. Wzory Cramera, metoda macierzowa, metoda eliminacji Gaussa. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. (2 godz.)
  8. Geometria analityczna w przestrzeni R3 – rachunek wektorowy, reprezentacja prostej i płaszczyzny, odległość między płaszczyznami i prostymi. Ortogonalność wektorów, rzutu prostokątny wektora na podprzestrzeń. (4 godz.)
  9. Przekształcenia liniowe i ich macierze. Jądro i obraz oraz rząd przekształcenia liniowego. Izomorfizm przestrzeni liniowych. (2 godz.)
  10. Wartości i wektory własne macierzy. Diagonalizacja macierzy. Wartości i wektory własne przekształceń liniowych. (4 godz.)



Treść ćwiczeń

Podczas ćwiczeń audytoryjnych omawiane będą kolejno zadania i problemy związane z wszystkimi wymienionymi wyżej zagadnieniami.

  1. Działania elementarne na liczbach zespolonych, postać kanoniczna, trygonometryczna i wykładnicza.
  2. Potęgowanie i wyznaczanie pierwiastków dowolnego stopnia. Rozwiązywanie prostych równań w dziedzinie liczb zespolonych.
  3. Znajdowanie pierwiastków wielomianów i rozkład funkcji wymiernych na sumę ułamków prostych (rzeczywistych oraz zespolonych).
  4. Rachunek zdań i kwantyfikatorów – dowodzenie tautologii, badanie prawdziwości zdań złożonych oraz zdań z kwantyfikatorami.
  5. Rachunek zbiorów – podstawowe operacje na zbiorach, iloczyn kartezjański, zbiór potęgowy, badanie własności relacji binarnych.
  6. Funkcje – badanie ich własności, w tym różnowartościowości, wyznaczanie funkcji odwrotnej, obrazów i przeciwobrazów zbiorów.
  7. Przestrzenie liniowe – badanie liniowej niezależności układów wektorów, opis podprzestrzeni oraz wyznaczanie jej wymiaru i bazy.
  8. Macierze – elementarne działania, obliczanie wyznacznika i rzędu, wyznaczanie odwrotności macierzy.
  9. Rozwiązywanie układów równań liniowych – wzory Cramera, metoda macierzowa, metoda eliminacji Gaussa, wykorzystanie twierdzenia Kroneckera-Capellego.
  10. Geometria analityczna w przestrzeni R3 – reprezentacja prostej i płaszczyzny, obliczanie iloczynu skalarnego, wektorowego i mieszanego, odległości między płaszczyznami i prostymi. Badanie ortogonalności wektorów, wyznaczanie rzutu prostokątnego wektora na podprzestrzeń.
  11. Przekształcenia liniowe – posługiwanie się macierzami przekształceń w zadanych bazach, wyznaczanie jądra i obrazu przekształcenia liniowego, znajdowanie reprezentacji macierzowej dla przekształceń geometrycznych płaszczyzny i przestrzeni R3.
  12. Wyznaczanie wektorów i wartości własnych macierzy. Diagonalizacja macierzy.
  13. Wyznaczanie wektorów i wartości własnych przekształceń liniowych, zapis macierzy przekształcenia liniowego w bazach składających się z wektorów własnych.



Zakres laboratorium

Przedstawiony będzie system MATLAB, jako obliczeniowe narzędzie wspomagające pracę inżyniera. Student pozna funkcje tego programu, które ułatwią rozwiązywanie problemów algebry liniowej: działania na macierzach, obliczanie wyznacznika i rzędu macierzy, rozwiązywanie układów równań liniowych, wyznaczanie wektorów i wartości własnych macierzy. System użyty będzie również do generowania i wykonywania obliczeń na danych znacznych rozmiarów.

Literatura:

  1. J. Klukowski, I. Nabiałek, Algebra dla studentów, PWN, Warszawa 2016.
  2. I. Nabiałek, Zadania z algebry liniowej, WNT, Warszawa 2006.
  3. J. Kraszewski, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa 2017.
  4. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1 i 2, Algebra i geometria analityczna, GiS, Wrocław 2016.
  5. Pakiet MATLAB (www.mathworks.com, licencja TAH)
Metody i kryteria oceniania:

Ocena wystawiana jest na podstawie sumy punktów uzyskanych na ćwiczeniach, zajęciach laboratoryjnych i na egzaminie. Ćwiczenia z laboratoriami oceniane są w skali 0-50 punktów. W czasie semestru odbywają się 3 kolokwia, za które można uzyskać łącznie do 40 punktów.

Dwa kolokwia będą przeprowadzone na ćwiczeniach audytoryjnych, a jedno na laboratorium z możliwością wykorzystania pakietu MATLAB. Na kolokwiach studenci rozwiązują zadania podobne do przerabianych na ćwiczeniach i laboratorium.


Na ocenę z przedmiotu oprócz kolokwiów wpływ mają też punkty za aktywność. Za aktywność student może zdobyć łącznie 10 punktów na ćwiczeniach i na laboratorium.


Do egzaminu, ocenianego w skali 0-50 punktów, może przystąpić każdy niezależnie od liczby punktów za kolokwia i aktywność. Warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny jest zdobycie powyżej 25 punktów za egzamin oraz powyżej 50 punktów łącznie (kolokwia, aktywność, egzamin).


Ocena jest wyznaczana na podstawie uzyskanej sumy punktów i zwiększa się o pół stopnia co 10 punktów. Przykładowo ocena 3 przysługuje, gdy suma punktów będzie w przedziale wartości (50, 60), a ocena 5 w przypadku sumy z przedziału (90, 100).

Zajęcia w cyklu "rok akademicki 2019/2020 - sem. zimowy" (w trakcie)

Okres: 2019-10-01 - 2020-02-21
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Laboratorium, 16 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Wykład, 30 godzin, 150 miejsc więcej informacji
Koordynatorzy: Żaneta Trębska
Prowadzący grup: Renata Gruszka, Paweł Józiak, Marcin Świeca, Żaneta Trębska
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Jednostka realizująca:

112000 - Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Politechnika Warszawska.