Analiza 1

103000 - Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych

ANL1T

1

Głównym celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z podstawami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, z teorią rzeczywistych szeregów liczbowych i funkcyjnych oraz równań różniczkowych zwyczajnych. Wprowadzone pojęcia i metody będą wykorzystywane do badania bardziej złożonych zagadnień, w tym np. do badania przebiegu zmienności funkcji, zastosowań geometrycznych i fizycznych.

Głównym celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z podstawami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, z teorią rzeczywistych szeregów liczbowych i funkcyjnych oraz równań różniczkowych zwyczajnych. Wprowadzone pojęcia i metody będą wykorzystywane do badania bardziej złożonych zagadnień, w tym np. do badania przebiegu zmienności funkcji, zastosowań geometrycznych i fizycznych.

Treść wykładu

1. Ciągi liczbowe i funkcje (6 godz.)
   Ciągi liczbowe: zbieżność, podstawowe własności i twierdzenia, ciągi określone rekurencyjnie. Własności funkcji: monotoniczność, różnowartościowość, parzystość. Funkcje elementarne (wielomianowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne) – przypomnienie. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne – wprowadzenie. Granica funkcji w punkcie, ciągłość funkcji, tw. Weierstrassa, tw. Darboux.
2. Pochodna funkcji (7 godz.)
   Pochodna funkcji, interpretacja geometryczna, podstawowe twierdzenia, monotoniczność, pochodne wyższych rzędów. Zastosowania - ekstrema funkcji, punkty przegięcia, asymptoty, badanie przebiegu zmienności funkcji. Twierdzenie Rolle`a, Lagrange`a, reguła de l`Hospitala, Wzór Taylora, Maclaurina.
3. Całka nieoznaczona (5 godz.)
   Całka nieoznaczona, podstawowe wzory. Całkowanie przez części, całkowanie przez podstawienie, całkowanie funkcji wymiernych.
4. Całka oznaczona ( 5 godz.)
   Całka oznaczona w sensie Riemanna, interpretacja geometryczna, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego. Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną, zastosowania geometryczne całki oznaczonej (pole figury płaskiej, objętość bryły obrotowej, długość krzywej płaskiej).
5. Całka niewłaściwa (3 godz.)
   Całki niewłaściwe I-go i II-go rodzaju.
6. Szeregi liczbowe (4 godz.)
   Szeregi liczbowe. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Kryteria zbieżności.
7. Szeregi potęgowe i trygonometryczne (9 godz.)
   Szeregi potęgowe. Szereg Taylora, Maclaurina. Promień zbieżności szeregu potęgowego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Szereg Fouriera.
8. Równania różniczkowe zwyczajne (6 godz.)
   Równania o zmiennych rozdzielonych. Równanie liniowe I rzędu. Równania liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach.

Treść ćwiczeń

Podczas ćwiczeń audytoryjnych omawiane będą kolejno zadania i problemy związane z wymienionymi wyżej zagadnieniami wraz z przykładami praktycznych zastosowań. Ponadto w ramach przygotowania do zajęć studenci będą wykonywać zadane prace przy wykorzystaniu systemu zeszyt.online.

1. W. Żakowski, G. Decewicz, Matematyka I, WNT.
2. W. Żakowski, W. Kołodziej, Matematyka II, WNT.
3. W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka IV, WNT.
4. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz.I i II, PWN.